天津市第四十二中学 张鼎言

　　3. 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点。

　　(Ⅰ)若动点M满足-=-+-+-(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；

　　(Ⅱ)在x轴上是否存在定点C，使-·■为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

　　分析：(1)---=1，a2=b2=2→c=2

　　F1(-2，0). F2(2，0).A(x1，y1).B(x2，y2)，M(x，y)

　　-=(x+2，y)，-=(x1+2，y1)，

　　-=(x2+2，y2)，-=(2，0)

　　x+2=x1+2+x2+2+2=x1+x2+6

　　x1+x2=x-4

　　y1+y2=y

　　若A(x1，y1).B(x2，y2)在---=1上，有---=1，---=1用(四)第四题方法，两式相减-=-而(-，-)恰是AB中点，当AB与x轴不垂直时，-恰是AB直线的斜率。

　　设N为AB中点，N(-，-)，又kAB=kNF2·■=-(*)

　　当AB与x轴不垂直时，

　　-=-=-

　　把中点N坐标，及kNF2代入(*)式，得出(x-6)2-y2=4。

　　当AB⊥x轴：x1=x2=2，y1=-y2，

　　∴x=8，y=0

　　同样满足(x-6)2-y2=4

　　分析(2)假设存在C(m，0)，

　　-g-=(x1-m)(x2-m)+y1y2

　　=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2

　　A(x1，y1).B(x2，y2)为双曲线与直线y=k(x-2)两交点，m为所求参数.

　　此时(1)所述方法不适用，理由是出现了x1gx2，y1y2，这是(1)中方法不能实现的，转为过F2的直线方程y=k(x-2)与二次曲线联立(设k存在)

　　-

　　→(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0

　　1-k2≠0，反之，k≠±1，过F2的直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点。

　　x1+x2=-，x1x2=-，

　　-g-=(1+k2)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2

　　=-+m2

　　若C(m，0)为定点，-g-的解析式应消去k，这是推导的目标。

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